ブラック・ショールズ・モデル

ひとことで言うと

ブラック・ショールズ・モデルは、オプション（決めた値段で株などを買う・売る権利）の「理論上の値段」を、5つの数字から計算する式です。

1973年に、フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズが論文で発表しました。同じ年に、2人と協力していたロバート・マートンも、この式とその広げ方をふくむ論文を出しています（ノーベル財団「1997年経済学賞の解説」）。

式に入れる数字は次の5つです。満期の日にだけ権利を使える「買う権利（コール）」の場合、それぞれが大きくなると値段は次のように動きます。

入れる数字	大きくなると、コールの値段は	目に見えるか
いまの株価	上がる	見える
権利行使価格（あらかじめ決めた買値）	下がる	契約で決まっている
満期までの期間	上がる	見える
安全な金利（国債などの金利）	上がる	見える
株価の揺れの大きさ（ボラティリティ）	上がる	見えない

（ノーベル財団の解説による）

ノーベル財団の解説は、式が出すコールの値段を「権利を使うときに見込める株の値打ち」から「払う代金の見込み」を引いた差だと説明しています。権利が使われる確からしさは、正規分布という、ばらつきの形を表す道具で計算します。

株が上がるか下がるかの予想を、なぜ使わずに済むの？

オプションの値段を計算しようとする試みは、ずっと前からありました。ノーベル財団の解説によれば、早いものは1900年、パリでルイ・バシュリエが書いた博士論文です。1964年には、ジェームズ・ボーネスがブラック・ショールズの式にかなり近い式を出しています。それでも、最後の一歩が越えられませんでした。

それまでのやり方は、満期の日にオプションがいくらになっていそうかを見込み、その額を今の値打ちに割り引くものでした。割り引くには、「株の危なさに見合って、投資家がどれだけ上乗せの利回りを求めるか（リスクプレミアム）」を決めなければなりません。 ところがこの上乗せは、投資家がどれだけ危なさをきらうかで変わり、現実には見ることができません。見えない数字に頼るかぎり、だれもが納得する1つの値段は出せなかった のです。

ブラックとショールズ、マートンが気づいたのは、オプションの値段を決めるのに、上乗せの利回りはそもそも要らない ということでした。上乗せが消えたのではなく、すでに今の株価の中に入っている、という考え方です（ノーベル財団の解説）。

解説が挙げている例を、そのまま追ってみます。

• 3か月後に、ある株を100ドルで買えるコールがあるとします
• 株価が2ドル上がるとコールは1ドル上がり、2ドル下がると1ドル下がるとします。この「株価が動いたときに、オプションの値段がどれだけ動くか」の度合いをデルタと呼び、この例では2分の1です
• その株を持っている人が、持っている株数の2倍のコールを売ると、株価が少し動いても、株のもうけとコールの損（または株の損とコールのもうけ）が打ち消しあいます
• 打ち消しあって危なさのない組み合わせなら、そのもうけは、3か月ものの米国債と同じになるはずです。もし多くもうかるなら、だれかがその差を取りにきて、すぐに差は消えます

株価が動き、満期が近づくと、デルタは変わります。そのたびに株とオプションの組み合わせを直せば、危なさのない状態を保てます（くわしくはオプションディーラーのヘッジ）。 ここから計算すると、株がこの先上がりそうか下がりそうかという見込みは、式から消えてしまいます。

だから、ブラック・ショールズの式は、株価の行き先を当てる式ではありません。 「この株価・この揺れなら、オプションはいくらでなければつじつまが合わないか」を出す式です。

そのかわり、前提がありました。売り買いがとぎれなく続けられること、そして取引の費用がかからないことです（ノーベル財団の解説）。この前提は、のちに何度も試されることになります。

1973年、取引所と式はほとんど同時に生まれた

論文がすんなり世に出たわけではありません。スコットランドのセント・アンドルーズ大学の数学史のサイトによれば、2人はまず経済学の学術誌「ジャーナル・オブ・ポリティカル・エコノミー」に投稿して断られ、別の学術誌にも断られました。マートン・ミラーとユージン・ファーマの意見を受けて書き直し、あらためて送った論文が受け入れられます。 載ったのは、同誌の1973年5〜6月号（81巻3号、637〜654ページ）でした。

ちょうどその直前、シカゴでは新しい市場が動き出していました。

1973年4月26日、シカゴ商品取引所の喫煙室に取引人たちが集まり、権利行使価格や満期をそろえた（標準化した）株のオプションを、初めて売りに出しました。 この日に売り買いされたのは16銘柄の株のオプションで、出来高は 911枚。これがシカゴ・オプション取引所（CBOE）の始まりです（CBOE「2012年 年次報告書」）。 最初に扱ったのはコールだけで、「売る権利（プット）」が加わったのは1977年でした（同じ報告書の年表）。

ノーベル財団の解説は、2つの出来事の近さをこう書いています。取引所がオプションの売り買いを始めたのは、式が論文になる 1か月前 でした。そして1975年までに、取引所の取引人たちは、この式を組み込んだ専用の電卓を使って、オプションの値段をつけ、手持ちのオプションを守るようになっていました。

取引人にとって、式は2つの役に立ちました。目の前の値段が計算上の値段より高いか安いかがわかること、そしてオプションを売ったとき、株をどれだけ持てば値動きの損を打ち消せるか（デルタ）がわかることです。

CBOEの出来高は、取引をまる1年続けた最初の年の1974年に560万枚あまりでしたが、2012年には11億枚になりました（CBOE「2012年 年次報告書」）。 ノーベル財団の解説は、3人の方法がデリバティブ（オプションや先物のような取引）の市場の急な成長に大きく貢献したと書き、さらに、理論がこれほど速く広く実務で使われたのは経済学では新しいことだった、と記しています。式を導く数学は、当時の実務家にも経済学者にも、ふつうに学ぶものではありませんでした。

式に入る数字のうち、目に見えないのはどれ？

5つのうち4つは、いまの株価、契約の中身、カレンダー、金利で、だれが見ても同じ数字です。 ノーベル財団の解説は、見えないのはボラティリティ（株価の揺れの大きさ）だけで、市場のデータから見積もるしかない と書いています。

解説は、逆の使い方にも触れています。オプションの市場の値段がわかっていれば、式を逆にたどって、「市場が見込んでいる揺れの大きさ」を出せる、というものです。こうして出した値をインプライド・ボラティリティと呼びます（ボラティリティの記事）。 つまり実際の市場では、式を「値段を出す道具」としてだけでなく、値段から揺れの予想を読み取る道具 としても使っています。

揺れの予想が少し変わったとき、オプションの値段がどれだけ動くかの度合いを ベガ と呼びます。デルタが「株価が動いたとき」なら、ベガは「揺れの予想が動いたとき」の感じやすさです。 たとえば、ベガが10円のオプションなら、揺れの予想が1ポイント上がるだけで、株価が同じでも値段は10円上がります（わかりやすくするための、たとえの数字です）。 オプションを売っている側は、株価が動かなくても、揺れの予想が上がれば損をします。たった1つの見えない数字が、売り手の損得を左右するのです。

ノーベル賞の翌年、何が起きたの？

1997年10月14日、スウェーデン王立科学アカデミーは、マートンとショールズにノーベル経済学賞を贈ると発表しました。理由は「デリバティブの値打ちを決める新しい方法」です（ノーベル財団の発表）。 ブラックは1995年8月に亡くなっていて、発表は「故フィッシャー・ブラックと協力して」と書いています。発表文は、世界中の何千人もの取引人や投資家が、毎日この式を使って株のオプションの値打ちを測っている、とも記しました。

その翌年の1998年、ショールズとマートンが役員として名を連ねていた米国のヘッジファンド、LTCMが大きな損を出し、9月23日に取引先の金融機関14社に引き取られました。 「ノーベル賞学者のいたファンドが、なぜ行き詰まったのか」は、何に賭けていたのかもふくめて、LTCMの記事で追っています。

式の前提が崩れる場面は、その前にもありました。株と現金を売り買いしてオプションと同じ損益を作るという、この式の考え方を使った「保険」が、1987年10月の暴落で売りを重ねています（ポートフォリオ・インシュランス）。 「売り買いがとぎれなく続けられる」という前提は、相場が一方向に走った日に、いちばん成り立たなくなります。 ノーベル財団の解説も、もとの前提のいくつかは「やや限定的」で、のちの研究で、揺れの大きさが時間とともに変わる、値段がとぶ、取引に費用がかかる、といった形に広げられたと書いています。

オプションの値段は、計算に入れる揺れの予想しだいで大きく変わります。計算上の値段より安く見えても、もうかるとは限りません。 記事は特定の商品や売買をすすめるものではなく、投資の判断はご自身の責任でお願いします。

こんなふうに使われる

市場の解説で

• 「ブラック・ショールズ・モデルで計算した理論価格と比べると、このコールは割高だ」
  • 5つの数字から出した値段と、市場の値段を比べる言い方です。ただし、理論価格は入れるボラティリティしだいで変わるので、「割高」は「市場が自分より大きな揺れを見込んでいる」という意味でもあります。

投資家どうしの会話で

• 「株価は動いてないのに、IVが上がってベガでやられたよ」
  • IVはインプライド・ボラティリティの略です。オプションを売っていると、株価が同じでも揺れの予想が上がるだけで値段が上がり、損になります。その感じやすさがベガです。

研究やレポートで

• 「ブラック・ショールズの前提は、相場の急変時には成り立たない」
  • 売り買いがとぎれなく続き、費用がかからない、という前提のことです。1987年の暴落のような日には、この前提がいちばん崩れやすくなります。

まとめ

• ブラック・ショールズ・モデル＝株価・権利行使価格・期間・金利・ボラティリティの5つから、オプションの理論上の値段を出す式。1973年に論文になった
• 株とオプションを組み合わせれば危なさを消せる、という考え方で、株の値上がりの見込みや上乗せの利回りを使わずに済むようにした
• 1973年4月26日にCBOEが911枚の取引で始まり、1975年までに取引人は式を組み込んだ電卓で値段をつけていた
• 5つのうち見えないのはボラティリティだけ。市場の値段から逆算すればインプライド・ボラティリティになり、その変化への感じやすさがベガ
• 1997年にマートンとショールズがノーベル経済学賞を受賞（ブラックは1995年に死去）。翌1998年、2人が役員だったLTCMが行き詰まった。式の前提の「とぎれない売り買い」は、1987年の暴落のような日に崩れる