標準偏差

ひとことで言うと

標準偏差は、データが平均からどれくらい散らばっているかを、1つの数字で表したものです。 記号はギリシャ文字の σ（シグマ）を使います。

投資の世界では、値動き（リターン）の標準偏差を「リスク」や「ボラティリティ」と呼びます。 もうかるか損するかの向きではなく、ふだん、どれくらいの幅でぶれるか を表す数字です。

「リスク」を、なぜ1つの数字で表せるの？

わかりやすくするための、たとえの数字で考えます。 2つのファンドが、4か月のあいだに次のように動いたとします。

	1か月目	2か月目	3か月目	4か月目	平均
ファンドA	+3%	−1%	+3%	−1%	+1%
ファンドB	+9%	−7%	+9%	−7%	+1%

平均はどちらも月+1%ですが、Bのほうがずっと荒っぽく動いています。この差を数字にするのが標準偏差です。

1. 毎月の値から平均を引く（Aなら +2、−2、+2、−2）
2. それぞれを2乗する（4、4、4、4）。2乗するのは、プラスとマイナスが打ち消し合わないようにするため
3. その平均をとる（4）。これを「分散」と呼ぶ
4. 平方根をとって、もとの単位（%）に戻す（√4 ＝ 2）

Aの標準偏差は2%、同じように計算するとBは8%です。

1つの数字で足りるのは、「つりがね形」のとき

値動きのばらつきが、平均を山にした左右対称のつりがね形（正規分布）になっているなら、標準偏差だけで、どの範囲にどれくらいの割合が入るかが決まります。

平均からの範囲	正規分布なら、その中に入る割合
±1σ	約68.3%
±2σ	約95.4%
±3σ	約99.7%

（正規分布の式から計算した値）

平均が+1%、標準偏差が8%の正規分布なら、「3回に2回くらいは−7%から+9%のあいだに収まる」と言えます。 ぶれの大きさを1つの数字で言い表せるので、ファンドどうしをくらべるのに便利です。 ただし、これは 値動きが本当に正規分布にしたがっていれば の話です。チャートでよく使われる「±2σに95%」の線が日経平均では成り立たないことは、ボリンジャーバンドの記事で見ています。

1か月のぶれを1年分にするには、なぜ√12をかけるの？

月ごとの標準偏差を1年あたり（年率）に直すときは、12倍ではなく、√12（約3.46）倍 します。 たとえば、1か月の標準偏差が5%なら、年率は 5% × 3.46 ＝ 約17.3% です。12倍の60%ではありません。

ある月に大きく上がっても次の月に下がれば、1年で見たぶれはそれほど大きくなりません。ぶれは月ごとに打ち消し合うのです。 月ごとの動きがたがいに関係なく起きるなら、足し算できるのは標準偏差ではなく、その2乗の「分散」です。12か月で分散が12倍になるので、標準偏差は √12 倍になります（厳密には、値動きを「対数」で表したときに成り立つ形です。CFA協会の論文紹介、2013年）。

GDPの伸び率を1年分に直すときに4乗する年率換算とは、別のルールです。 1日の標準偏差を3日分にするなら √3 倍します。この計算が、次の場面で出てきます。

2007年8月、「25標準偏差」の1週間に何が起きたの？

「市場の動きに左右されない」はずのファンド

ヘッジファンドの中には、コンピューターのモデルで株を売り買いする「クオンツ」型のファンドがあります。 2007年8月に大きな損を出したのは、その中でも、モデルが割安とみた株を買い、割高とみた株を売って、買いと売りの量をそろえる形（マーケット・ニュートラル）のファンドでした。 株式市場全体が上がっても下がっても、損得はほぼ打ち消されるので、市場の大きな揺れには影響されにくい はずのやり方です。 多くは借りたお金も使って、持ち高を元手の何倍にもふくらませていました。

8月7日から9日、モデルの株だけが崩れた

MITのアンドリュー・ロー教授らの論文（カンダニとロー、2007年9月初稿・11月改訂）によると、経過は次のとおりです。

• 8月7日（火）・8日（水）：債券や株の市場全体はそれほど動いていないのに、モデルで運用する株のファンドだけが大きな損を出した
• 8月9日（木）：アメリカのS&P500が3%近く下がり、マーケット・ニュートラルのはずのファンドも損を広げた。同じ日には、フランスのBNPパリバが傘下のファンドの解約を止めていて、サブプライムローンをめぐる混乱が広がった日でもある
• 8月10日（金）：前の3日間の値動きの多くが逆向きに戻り、大きくはね返した。ただし、途中で損に耐えきれず持ち高を減らしたファンドは、このはね返りを取り逃がした

これらのファンドが持っていたのは、ふつうに取引所で売買される株で、サブプライムの証券ではありませんでした。

翌週の報道は、それまで安定してもうけてきたクオンツ・ファンドの8月の損失を、−5%から−30%と伝えました。 ウォール・ストリート・ジャーナル紙は8月14日、ゴールドマン・サックスのグローバル・エクイティ・オポチュニティーズ・ファンドが、前の週だけで価値の30%以上を失ったと報じています（いずれも論文が引用）。

財務責任者の「25標準偏差」

このころ、ゴールドマン・サックスの最高財務責任者（CFO）デビッド・ヴィニアーは、英フィナンシャル・タイムズ紙に、「25標準偏差の動きが、何日も続けて起きていた」 という意味のことを語りました。 ほかのクオンツの分野でも問題はあったが、先週のようなことはなかった、とも続けています（カンダニとローの論文、英中銀ハルデイン氏の講演が引用）。

数字の上では、「めったに起きないどころか、まず起こりえない不運に見舞われた」という説明になります。 運用のやり方ではなく、相場の動きのほうが例外的だった、という見方です。

「宇宙の歴史で1回」の動きが、なぜ何日も続いたの？

計算すると、ありえない数字になる

イングランド銀行（英国の中央銀行）で金融安定部門の責任者を務めていたアンドリュー・ハルデイン氏は、2009年2月13日の講演「銀行はなぜストレステストに失敗したか」で、この発言を取りあげました。

• 正規分布だとすると、1日で7.26σの損失は、約137億年に1回。だいたい宇宙の年齢です
• 25σの出来事は、宇宙の一生の6×10の124乗倍の期間に1回

そのうえで、こう結論づけています。もっと簡単な説明がある。モデルが間違っていたのだ、と。

物差しにした「ふだんのぶれ」が小さすぎた

カンダニとローは、単純なモデル（前の日に下がった株を買い、上がった株を売る）で、この週を再現しています。

	借金なし	借金で8倍にふくらませた場合
8月6日	+0.50%	+2.01%
8月7日	−1.16%	−4.64%
8月8日	−2.83%	−11.33%
8月9日	−2.86%	−11.43%
7〜9日の3日間の合計	−6.85%	元手の4分の1あまりを失う
8月10日	+5.92%	+23.67%
1週間の合計	−0.43%	−1.72%（持ち続けた場合）

（カンダニとロー「What Happened To The Quants In August 2007?」。実際のファンドの成績ではなく、論文のモデル計算。借金8倍は2006年ごろの水準をもとにした仮定）

このモデルの2006年の1日の標準偏差は0.52%でした。3日分なら 0.52% × √3 ＝ 約0.90% です。 3日で−6.85%は、その約7.6倍。毎日の値動きがたがいに関係なく起きると仮定すれば、7.6σの損失 です。翌日の+5.92%は、1日だけで11.4σでした。 ところが1週間を通すと −0.43% で、論文の言葉では「どの点から見てもふつうの」週でした。

σが大きく出るのは、損が大きかったからだけではありません。 物差しにした標準偏差が、落ち着いていた2006年の値動きから測ったもので、小さすぎた のです。 物差しが短ければ、少し荒れただけの相場でも「何十σ」に見えます。

同じ持ち方をした人が多いと、ぶれそのものが大きくなる

論文の推測では、始まりは、大きなマーケット・ニュートラルのポートフォリオが急いで売られたことでした（理由の候補として、論文は追加の担保を求められたことや、リスクを減らす判断などをあげています）。 似た株を同じ向きに持っていたほかのファンドが損を出し、損を止めようと持ち高を減らす。その売りがまた値段を動かしました。

論文は、「25σ」が本当に起きたのなら、考えられるのは2つだとしています。

• 値動きの分布が、正規分布よりずっと「すその厚い」形をしている（大きな動きが、正規分布よりはるかに多く起きる）
• 標準偏差そのものが一定ではなく、ときどき急に跳ね上がる

そして、ある運用のやり方があまりに広まると、その手じまいがリスクそのものを変えてしまう。そうなると、正規分布を前提にしたリスクの計算は成り立たなくなる、と指摘しました。 ふだんのぶれは、みんなが落ち着いているときのぶれです。みんなが同じ出口に向かうと、その数字は役に立たなくなります。

標準偏差の数字は、どう読めばいいの？

投資信託などの資料で「リスク」として標準偏差が示されているときは、次のことを確かめます。

• いつの、どんな間隔のデータから測ったか：毎日か毎月か、何年分か。落ち着いた時期だけで測ると、小さく出ます
• 年率か、1か月あたりか：年率なら、1か月の目安は √12 で割って求めます
• 正規分布を前提にしていないか：「±2σの外は20回に1回」は、つりがね形のときの話です。実際の相場では、外側の大きな動きがもっと多く起きます
• ぶれ自体が変わる：危機のときは、標準偏差そのものが何倍にもなります

標準偏差は過去の値動きから計算した目安で、これからの値動きの幅を約束するものではありません。 投資には元本が減るリスクがあります。記事は特定の商品をすすめるものではなく、投資の判断はご自身の責任でお願いします。

こんなふうに使われる

投資信託の資料で

• 「リスク（標準偏差・年率）：12.5%」
  • たとえの数字で、過去の値動きが、1年あたりでふだんどれくらいの幅でぶれたかを表します。「リスク」と書いてあっても、損をする確率ではありません。

市場の解説で

• 「平均から3シグマを超える動きで、統計的にはめったに起きないはずの下げだ」
  • 「シグマ」は標準偏差のことで、正規分布なら平均から±3σの外に出るのは1,000回に3回ほどです。ただ、本当の相場は正規分布よりも大きな動きが多く起きるので、「めったに起きない」はあくまで正規分布を前提にした計算です。
• 「25標準偏差の動きが何日も続いた、という話は、モデルの前提が崩れていた例としてよく引き合いに出される」
  • 2007年8月、クオンツ型のファンドが大きな損を出したときに、ゴールドマン・サックスの財務責任者が語ったことばです。物差しにした標準偏差が、落ち着いた時期の値動きから測った小さすぎるものでした。

学校で

• 「この前のテストは標準偏差が大きかったから、平均点だけ見ても自分の位置はわからないよ」
  • 点数のばらつきが大きいと、平均より10点上でも、それほど上のほうとは言えないことがあります。偏差値も、平均点と標準偏差を使って計算します。

まとめ

• 標準偏差＝データが平均からどれだけ散らばっているかを表す数字。投資では値動きの「リスク」の物差しに使う
• 正規分布なら±1σに約68%、±2σに約95%が入る。1か月のぶれを年率にするときは√12（約3.46）倍
• 2007年8月、クオンツ型ファンドが3日で大きな損を出し、ゴールドマン・サックスのCFOは「25標準偏差の動きが何日も続いた」と語った
• 英中銀のハルデイン氏は、正規分布なら宇宙の歴史でも起きない数字だとして「モデルが間違っていた」と結論づけた
• 物差しにした標準偏差が落ち着いた時期のものだったり、同じ運用が広まってぶれそのものが大きくなったりすると、σの数字は当てにならない