回帰分析

ひとことで言うと

回帰分析は、2つ以上の数字の関係を、データにいちばんよく合う線（式）で表す方法です。

まず、一方の数字を横軸、もう一方を縦軸にとって、データを点で打ちます。これが 散布図 です。 次に、点の集まりのまんなかを通るように線を引き、「横の数字が1増えると、縦の数字は平均でどれだけ動くか」を読みとります。 線は、ふつう、点と線の縦のずれを2乗して足した合計がいちばん小さくなるように決めます（最小二乗法）。表計算ソフトで散布図に「近似曲線」を足したときに引かれる線も、この考え方によるものです。

種類	説明に使う数字	たとえ
単回帰分析	1つ	家賃を、部屋の広さだけで説明する
重回帰分析	2つ以上	家賃を、広さ・駅からの距離・築年数で説明する

（表の例は、わかりやすくするためのたとえです）

では、なぜ「回帰（もとにもどる）」という名前なのでしょう。由来は、19世紀のイギリスで行われた、身長の研究にあります。

なぜ「回帰（もとにもどる）」という名前なの？

イギリスの科学者フランシス・ゴルトンが、親から子へ何が伝わるのかを調べていて見つけた現象に、こう名づけたからです。

1877年、スイートピーの種で

ゴルトンがはじめに調べたのは、人ではなくスイートピーの種でした。 種を重さで7つの段階（K〜Q）に分け、まったく同じ重さの種を10粒ずつ袋に入れて、北はスコットランドのネアンから南はコーンウォールまで、各地の友人に育ててもらいました。 とれた子の種は、親の種の大きさに似ませんでした。親が大きければ親より小さく、親がとても小さければ親より大きく、いつも親より「平凡（mediocre）」なほうに寄っていた のです。 ゴルトンはこの結果を、1877年2月9日、王立研究所（Royal Institution）の講義で発表しました。のちにまとめた数字では、親の種が1単位大きくなっても、子の種は平均で3分の1単位しか大きくなっていません。

ただ、ゴルトンが本当に知りたかったのは種ではありませんでした。本人は「種は、人の遺伝を照らす手段としてだけ気にかけていた」と書いています。

人の身長を集めるため、賞金を出した

人のデータは、長いあいだ集まりませんでした。そこでゴルトンは、家族の記録（Family Records）を送ってくれた人に賞金を出すと呼びかけます。応募はたくさん集まりました。 答えに偏りが出ないよう、募集の案内には、身長の研究に使うことを書かなかったといいます。

こうして集まったのは、205組の両親と、成人したその子どもおよそ930人の身長です（論文の表では928人）。

• 女性の身長は1.08倍して、男性なみに直した（12分の1弱を足すのと同じ）
• 両親の身長は、父と母の平均をとって「中間の親（mid-parent）」の身長とした

答えは「3分の2」

この人たちの身長の平均は、68と4分の1インチ（約173cm、靴をはかない身長）でした。 ゴルトンは、身長そのものではなく 平均からのずれ を比べました。そして、こうまとめています。

子の身長の（平均からの）ずれは、平均すると、中間の親のずれの3分の2である。

たとえば、両親の中間が平均より6cm高ければ、その子どもたちは、平均すると平均より4cm高い、ということです（わかりやすくするための、たとえの数字です）。 ゴルトンはこの関係が「思いがけないほどきれいに、正確に」出たと書いています。ケンブリッジの数学者J・ハミルトン・ディクソンに、遺伝の話を抜きにした数学の問題として計算してもらうと、同じ結論が数学からも出てきました。

この結果を、ゴルトンはスコットランドのアバディーンで開かれた英国学術協会の会合で、人類学の部会の会長として講演して発表し、1886年に論文「遺伝による身長の、平凡への回帰（Regression towards Mediocrity in Hereditary Stature）」にまとめました。 ねらいは、「単純で、広く当てはまる遺伝の法則」があることを、疑いの余地なく示すこと でした。いまの回帰分析の「回帰」は、ここから来ています。

「背の高い親の子は、背が低くなる」ってこと？

ちがいます。ここが、いちばん誤解されやすいところです。

3分の2は、平均の話です。上のたとえでいえば、両親の中間が平均より6cm高い子どもたちは、平均すると、やはり平均より4cm高い。平均より高いまま、平均のほうに「近づく」だけです。一人ひとりを見れば、親より高い子もいます。

さらに、ゴルトン本人が念を押していることがあります。 子のずれが親の3分の2なら、逆に「親のずれは子の2分の3（1.5倍）」になりそうです。ところが、同じ表を縦に読みかえて、ある人から見たその両親を調べると、両親の中間のずれは、その人のずれの3分の1しかありませんでした。子から見ても、親は平均のほうに寄っていたのです。

理由について、ゴルトンはこう書いています。平均から大きく外れた人は少なく、平均に近い人がとても多い。だから、とびぬけて背の高い人は、「とびぬけた両親のふつうの子」であるより、「わりとふつうの両親の、少しとびぬけた子」であることのほうが多い。

どちら向きに読んでも「回帰」が出るのですから、子を平均へ引っぱる力のようなものがあるわけではありません。ばらつきのあるデータを、とびぬけた側から選んで見ると、相手のほうは平均に近く見える、という話です。 論文の題の「平凡（mediocrity）」も「つまらない」という意味ではなく、平均のことです。いまはこの現象を「平均への回帰」と呼びます。

経済では、どんな線を引くの？

有名なのが、失業率と国の生産のあいだに引いた線、オークンの法則 です。

1962年、アメリカの経済学者アーサー・オークン（1928〜1980年）は、論文「潜在GNP その測り方と意味」で、この関係を示しました。物価上昇率と失業率を足す悲惨指数を考えた人でもあります。

当時は、失業率が4%くらいのときの生産を「潜在GNP（無理なく生み出せる国全体の生産）」とし、実際のGNPがそれをどれだけ下回るかを「GNPギャップ」と呼んでいました（いまのGDPギャップと同じ考え方ですが、向きが逆で、不況のときにプラスになります）。 オークンの法則は、ひとことで言えば次の線です。

GNPギャップ（%）≒ 3 ×（失業率 − 4%）

1971年に経済学者ペリーがまとめた説明では「3倍を少し超える」です。たとえば失業率が6%なら、4%を2ポイント超えているので、生産は潜在GNPより約6%少ない、と読みます（わかりやすくするための、たとえの数字です）。 1960年代の前半、アメリカの政策はこのギャップを埋めることに向けられていて、潜在GNPとオークンの法則は「最も手軽な分析の道具の2つ」になった、とペリーは書いています。1980年のオークンの追悼文も、生産の変化を失業の予想に言いかえる必要がある景気予想の担い手にとって、この法則ははかりしれない価値があった、と書いています。

線の傾きは、使う期間やデータで変わります。

出どころ	線の傾き（目安）
オークン（1962年）	失業率1ポイント ↔ 生産が約3%少ない
サンフランシスコ連銀（2010年・2014年のレポート）	実質GDPがふだんの伸び（トレンド）を2%下回るごとに、失業率は約1ポイント上がる

セントルイス連銀の2013年のレポートは、成長率で見たオークンの推計を「成長率が1ポイント高いと、失業率は0.3ポイント下がる」とし、1948年〜2013年1〜3月期のデータでは0.28になったと書いています。

2009年、線から大きく外れた

ところが、2009年のアメリカは線に乗りませんでした。

サンフランシスコ連銀のデイリーとホバインのレポート（2010年3月8日）によると、2009年の実質GDPはほぼ横ばいでした。ふだんの伸び（トレンド）は年3%なので、2対1の線に当てはめると、失業率の上がり方は約1.5ポイントのはずです。 実際には、3ポイント上がりました。線の予想の2倍以上 です。

レポートが挙げた主な理由は、生産性の急な上昇でした。企業は、生産の量をほぼ保ったまま、働く人を大きく減らしたのです。 回帰分析の線は、過去のデータの平均的な関係 です。企業の動き方が変わった年には、線から外れます。 なお、同じサンフランシスコ連銀の2014年4月のレポートは、のちにGDPの数字が改定されると、2009年のずれは小さくなったと書いています。

線が引ければ、原因がわかったことになるの？

なりません。

総務省統計局の学習サイト「なるほど統計学園」は、散布図でわかるのは「見た目の関係があるかどうか」だけで、原因と結果の関係（因果関係）までは示さない、と注意しています。 例に挙げているのは、血圧と給料です。年をとるほど、血圧も給料も上がる傾向があるので、散布図では関係があるように見えます。でも、血圧を上げれば給料が上がるわけではありません。両方を動かしているのは、年齢という3つ目の要因です。

ゴルトンの表も、横に読めば「子が平均に回帰」、縦に読めば「親が平均に回帰」でした。線はどちら向きにも引けるので、線だけでは、どちらが原因かは決まりません。

線がデータにどれだけよく合っているかは、決定係数（R²）で表します。0から1の値で、1に近いほどよく合っています。同じサイトは、相関係数0.7は強い相関に見えるが、決定係数にすると0.49だ、という例を挙げています。 ただし、よく合っていても安心はできません。関係のない数字でアメリカの株価の動きの75%を「説明」してみせた実験は、決定係数の記事で紹介しています。

こんなふうに使われる

研究やレポートで

• 「失業率の変化を実質GDP成長率に回帰すると、係数はおよそマイナス0.3となる」
  • 横軸に成長率、縦軸に失業率の変化をとって線を引くと、成長率が1ポイント高いと失業率は0.3ポイント下がる、という意味です。オークンの1962年の推計（当時はGNPで計算）が、この大きさでした。
• 「広さや築年数をそろえたうえで、駅からの距離が家賃にどれだけ効くかを、重回帰分析で調べた」
  • 説明に使う数字を2つ以上入れると、ほかの条件をそろえたときの、1つの数字の効き方を見ることができます。

職場でデータを見るとき

• 「散布図に近似曲線を引いてみたら、気温が高い日ほど売れているね」
  • 点の集まりに合う線を引いて、関係の向きと強さを見た、という意味です。線が引けても、気温が原因だと決まったわけではありません。

スポーツや日常の会話で

• 「去年の成績は出来すぎだったから、今年は平均への回帰があるかもしれない」
  • とびぬけた結果のあとは、次は平均に近い結果になりやすい、という意味です。ゴルトンが身長で見つけた現象で、成績を平均へ引きもどす力があるわけではありません。

まとめ

• 回帰分析＝数字どうしの関係を、データにいちばん合う線で表す方法。説明に使う数字が1つなら単回帰、2つ以上なら重回帰
• 名前は、ゴルトンの1886年の論文から。両親の中間の身長の「平均からのずれ」のうち、子に出たのは平均で3分の2で、子の身長は平均へ「回帰」していた
• 回帰は「背の高い親の子は低くなる」という意味ではない。同じ表を逆に読んでも回帰が出る、平均の話
• 経済では、オークンの法則（失業率1ポイントで生産が約3%、のちの目安では約2%）のように線を引く。2009年のように、大きく外れる年もある
• 線が引けても、原因まではわからない。当てはまりのよさは決定係数で見る